Rozdział ten będzie niewątpliwie najciekawszy, najbardziej porywający dla tych, którzy ulegli czarowi liczby. A czar to zaiste osobliwy, ale mający pewne podobieństwo do czaru muzyki, barwy, tańca, do czaru żywego słowa, w ogóle do czaru poezji. I jak każdy niemal był w swej młodości w większym lub mniejszym stopniu poetą, tak każdy prawie ulegał i ulega urokowi liczby.
Rozdział ten nie obejmuje oczywiście całego bogatego materiału z tej dziedziny zagadnień. Ale tego rodzaju „ciąg dalszy” znajdzie Czytelnik w tomie drugim, z tą jednak różnicą, że do ciekawych właściwości wielu liczb tu przytoczonych już nie będzie potrzeby powracać. Znajdą się natomiast nowe, odmienne, a niemniej pełne czaru …
Dziwy siódemki
Gdy postęp arytmetyczny, którego pierwszym wyrazem i różnicą jest liczba 15 873, mnożyć będziemy przez 7, otrzymamy iloczyny bardzo dziwne. Liczby 15 873, 31 746, 47 619, 63 492, 79 365, 95 238, . . ., 142 857, mnożone przez 7, dadzą zawsze liczbę złożoną z 6 razy powtórzonej tej samej cyfry:
15873 • 7 = 111111
31746 • 7 = 222222
……………….
79365 • 7 = 555555
……………….
142857 • 7 = 999999
Ciekawy ten zbieg cyfr łatwo można wyjaśnić, gdy zauważymy, że na przykład
79365 • 7 = (5-15873) • 7 = 5 • (15873 • 7) = 5 • 111111
Trudniejsze do wytłumaczenia jest to niezwykłe zjawisko, że jeśli pomiędzy dwie cyfry drugiej potęgi liczby 7, to znaczy w środek liczby 49 wstawiać będziemy liczbę 48, to utworzone w taki sposób liczby, mianowicie:
będą zawsze pełnymi kwadratami:
49 = 7²
4489 = 67²
444889 = 667²
44448889 = 6667²
Ale jeszcze ciekawsze „cudeńka” otrzymać można z kombinacji liczby 7 z liczbami 11 i 13 albo — jak kto woli — z liczbą 143 równą 11 • 13.
Otóż jeśli pomnożymy liczbę 143 przez którąkolwiek z 999 pierwszych w naturalnym porządku wielokrotności liczby 7, to w iloczynie otrzymamy zawsze liczbę złożoną z dwu liczb identycznych, na przykład:
28 • 143 = 4004
315 • 143 = 45045
2464 • 143 = 352352
3591 • 143 = 513513
5495 • 143 = 785785
6993 • 143 = 999999
A przy tym zauważyć należy, że powtarzająca się w iloczynie liczba równa się zawsze liczbie siódemek zawartych w mnożniku. W samej rzeczy:
28:7 = 4
315 :7 =45
2464 : 7 = 352
i tak dalej.
To dziwne na pierwszy rzut oka zjawisko wyjaśnia się nader prosto. Wystarczy stwierdzić, że 7 • 143 = 1001. Dlatego
2464 • 143 = (352 • 7) • 143 = 352 • (7 • 143) = 352 • 1001 =
= 352 • 1000 + 352 = 352352
Podobne rezultaty otrzymuje się mnożąc 77 przez 999 pierwszych wielokrotności liczby 13 albo też mnożąc 91 przez 999 pierwszych wielokrotności liczby 11.