Wzór skróconego mnożenia
Wzory skróconego mnożenia pozwalają dużo szybciej wykonywać obliczenia.
Najczęściej stosowane wzory skróconego mnożenia:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 −ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
Wzory skróconego mnożenia są pomocne przy mnożeniu lub potęgowaniu wyrażeń algebraicznych. Ułatwiają sprawne liczenie. Wzorów tych jest bardzo dużo. Poniżej podajemy kilka, z których korzysta się najczęściej.
Kwadrat sumy liczb
-
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
na przykład: 312 = (30+1)2 = 302+2×30+1 = 900+60+1 = 961 -
nie zachodzi równość: (a+b)2 = a2 + b2
na przykład 25 = (3+2)2 ≠ 32 + 22 = 13 -
uzasadnienie wzoru przez rachunek:
(a + b)2 = (a + b) × (a + b) = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2
Kwadrat różnicy liczb
-
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
na przykład: 292 = (30-1)2 = 302-2×30+1 = 900-60+1 = 841 -
nie zachodzi równość: (a-b)2 = a2 – b2
na przykład 1 = (3-2)2 ≠ 32 – 22 = 5 -
uzasadnienie wzoru:
(a – b)2 = (a – b) × (a – b) = aa – ab – ba + bb = a2 – 2ab + b2
Kwadrat sumy trzech liczb
-
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
na przykład: 1112 = (100+10+1)2 = 1002 + 102 +1 +2×100×10 + 2×100 + 2×10 = 10000 + 100 + 1 + 2000 + 200 + 20 = 12321 -
nie zachodzi równość: (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2
na przykład 36 = (3+2+1)2 ≠ 32 + 22 + 12 = 14 -
uzasadnienie wzoru:
(a + b + c)2 = (a + b + c) × (a + b + c) = aa + ab + ac + ba + bb + bc + ca + cb + cc = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Iloczyn sumy i różnicy liczb = Różnica kwadratów liczb
-
(a + b)×(a – b) = a2 – b2
na przykład: 101×99 = (100+1)×(100-1) = 1002 – 1 = 9999 -
uzasadnienie wzoru :
(a + b) × (a – b) = aa – ab + ba – bb = a2 – b2
Sześcian sumy liczb
-
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
na przykład: 1013 = (100+1)3 = 1003 + 3×1002 + 3×100 + 1 =
= 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301 -
nie zachodzi równość: (a+b)3 = a3 + b3
na przykład 125 = (3+2)3 ≠ 33 + 23 = 35 -
uzasadnienie wzoru przez rachunek:
(a + b)3 = (a + b) × (a + b) × (a + b) = (aa + ab + ba + bb) × (a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Sześcian różnicy liczb
- (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
na przykład: 993 = (100-1)3 = 1003 – 3×1002 + 3×100 – 1 =
= 1000000 – 30000 + 300 – 1 = 970299
Suma sześcianów liczb
a3 + b3 = (a + b)×(a2 – ab + b2)
uzasadnienie wzoru:
(a + b)×(a2 – ab + b2) = aa2 – aab + ab2 + ba2 – bab + bb2= a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 =
= a3 + b3
Różnica sześcianów liczb
a3 – b3 = (a – b)×(a2 + ab + b2)
uzasadnienie wzoru:
(a – b)×(a2 + ab + b2) = aa2 + aab + ab2 – ba2 – bab – bb2 = a3 + a2b + ab2 – a2b – ab2 – b3 =
= a3 – b3
Różnica czwartych potęg liczb
a4 – b4 = (a – b)×(a3 + a2b + ab2 + b3) = (a + b)×(a3 – a2b + ab2 – b3)
Suma n-tych potęg liczb (dla n nieparzystych!!!)
an + bn = (a + b) (an-1 – an-2b + an-3b2 – … + bn-1)
Różnica n-tych potęg liczb (dla n parzystych!!!)
an – bn = (a + b) (an-1 – an-2b + an-3b2 – … + bn-1)
Różnica n-tych potęg liczb (dla wszystkich n naturalnych)
an – bn = (a – b) (an-1 + an-2b + an-3b2 + … + a2bn-3 + abn-2 + bn-1)